Programma

Combinatoria

Spazio di probabilità

Variabili aleatorie (discrete e continue)

Leggi grandi numeri, teorema del limite centrale

Combinatoria

Principio Fondamentale

Supponiamo di avere due esperimenti. Il primo esperimento ha $n_{1}$ esiti possibili e, qualunque sia l’esito del primo esperimento, il secondo esperimento ha $n 2$ esiti possibili.

Allora il numero delle coppie $(a_{1}, a_{2})$ possibili con $a_{i}$ esito dell’esperimento i-esimo è:

$n_{1} \times n_{2}$

Esempio lancio di un dado

$# {(a, b) : a = f a cc ia p r im o l an c i o, b = f a cc ia se n co n d o l an c i o}$

Per entrambi gli esperimenti le facce che possiamo ottenere (possibili) sono 6.

Per il principio fondamentale abbiamo che il numero possibile di facce che possiamo ottenere nei due lanci è: $n_{1} \times n_{2}$ Quindi: $6 \times 6 = 36$

Notazione

$#$ → il numero

Se A è un insieme $∣ A ∣ =$ cardinalità di $A = # A$

Esempio studenti

Supponiamo di avere 140 studenti. In quanti modi posso scegliere un rappresentante e un vice?

$n = 140$ $140 \times 139$

Warning

$n_{2}$ è 139 perché dopo aver scelto il rappresentante, gli studenti tra cui scegliere non saranno più 140

Principio fondamentale generalizzato

Supponiamo di avere $r$ esperimenti.

Il primo ha $n_{1}$ esiti possibili. Qualunque sia la realizzazione del primo esperimento, il secondo ha $n_{2}$ esiti possibili. Qualunque sia la realizzazione del secondo esperimento, il terzo ha $n_{3}$ esiti possibili e così via.

Allora il numero delle possibili stringhe $(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$ dove $a_{i}$ è l’esito dell’esperimento i-esimo $\forall i = 1, 2, \dots, r$ è $n_{1}, n_{2}, \dots, n_{r}$

Esempio ragazzi e ragazze

Supponiamo di avere 120 ragazzi e 20 ragazze. In quanti modi posso scegliere un rappresentante e un vice di sesso diverso?

$# {(a, b) : a = \overset{e}{ˋ} r a pp rese n t an t e, b = \overset{e}{ˋ} v i ce}$

Risposta: $120 r a g a zz i \times 20 r a g a zze = 140 m o d i p oss ibi l i$ Per scegliere il vice non è possibile applicare il principio fondamentale perché non sappiamo l’esito del primo esperimento. Infatti, non sappiamo se il il rappresentante scelto è maschio o femmina.

In questo caso posso risolvere distinguendo i casi.

Primo caso $# {(a, b) : a = \overset{e}{ˋ} r a pp rese n t an t e F, b = \overset{e}{ˋ} v i ce M}$

Cardinalità: $120 \times 20$

Secondo caso

$# {(a, b) : a = \overset{e}{ˋ} r a pp rese n t an t e M, b = \overset{e}{ˋ} v i ce F}$ Cardinalità: $120 \times 20$

Quindi la risposta è: $(120 \times 20) + (120 \times 20) = 4800$

Permutazioni

Esempio libri

Supponiamo di voler sistemare su uno scaffale 4 libri di matematica, 3 di chimica e 2 romanzi.

In quanti modi li posso ordinare?
In quanti modi li posso ordinare in modo tale che i libri della stessa materia siano vicini?

Prima domanda

Dopo aver messo il primo, rimangono 8 libri da scegliere per il secondo spazio. Una volta scelto il secondo libro, te ne restano 7 per il terzo spazio, e così via.

Quindi:

9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 9!

Seconda domanda

Innanzitutto dobbiamo pensare al possibile ordinamenti delle varie materie, quindi immaginiamo i libri della stessa materia come un unico blocco.

Le materie sono 3, quindi dobbiamo disporli in 3 posti.

Quindi:

3 \times 2 \times 1 = 3!

Ora pensiamo anche a sistemare i vari libri.

Libri di matematica:

4 \times 3 \times 2 \times 1 = 4!

Libri di chimica:

3 \times 2 \times 1 = 3!

Romanzi:

2 \times 1 = 2!

Quindi il numero di modi in cui posso ordinare i libri è:

3! \times 4! \times 3! \times 2!

Definizione permutazioni

Dati $n$ oggetti distinti, le permutazioni di questi $n$ oggetti sono tutti i possibili allineamenti degli $n$ oggetti.

Il numero delle permutazioni di $n$ oggetti e $n!$

Dimostrazione

Per ordinare gli $n$ oggetti scelgo il primo (ho $n$ modi possibili) scelgo il secondo (ho $n - 1$ modi possibili), $\dots$ , scelgo l’n-esimo.

Principio fondamentale

# p er m u t a z i o ni = n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \dots

Permutazioni con e senza ripetizioni

Supponiamo di voler trovare il numero di anagrammi della parola mela.

Le permutazioni saranno: $4!$

Se volessimo trovare gli anagrammi del nome Emma il numero di permutazioni non è più $4!$ poiché ci sono due lettere uguali.

In generale, quando abbiamo parole di lunghezza $n$ con $r$ lettere distinte, sappiamo che la prima appare $n_{1}$ volte, la seconda $n_{2}$ volte ecc.

Il numero di anagrammi sarà:

\frac{n _{1}}{n _{1} ! \times n _{2} ! \times n _{r}}

Quindi, scomponendo il problema abbiamo che la e e la a si ripetono 1 volta, mentre la m 3 volte.

Quindi avremo che i possibili anagrammi di Emma sono:

\frac{4 !}{1 ! \times 1 ! \times 2 !} = \frac{4 !}{2 !}

Regola generale per permutazioni

Senza ripetizioni #permutazioni { $n!$ }

Con ripetizoni #permutazioni ${\frac{n _{1} !}{n _{2} ! \times n ! \dots \times n _{R}}}$

Esempio targhe alfanumeriche

Calcolare il numero possibile di targhe alfanumeriche di lunghezza 5. Si hanno a disposizione 26 lettere e 10 cifre, quindi per ogni entrata ci sono 36 possibili input. Le targhe sono composte da 5 caratteri quindi si ottiene $3 6^{5}$ .

Per il principio fondamentale avremo che:

{#targhe alfanumeriche di lunghezza 5} = 36 \times 35 \times 34 \times 33 \times 32

Supponiamo ora, di voler scegliere 3 lettere e 2 cifre per la targa.

Si dovranno prima scegliere come posizionare le 3 lettere nei 5 posti.

\frac{5 !}{3 ! \times 2 !}

Le lettere sono 26 quindi in 3 posizioni si avranno $2 6^{3}$ esiti, mentre per le cifre $1 0^{2}$ esisti.

Quindi:

\frac{5 !}{3 ! \times 2 !} \times 2 6^{3} \times 1 0^{2}

Combinazioni

Supponiamo di voler determinare il numero di insiemi che si possono formare con $r$ oggetti in $n$ oggetti.

Per esempio, quanti insiemi da 3 lettere si possono formare con 5 lettere $A, B, C, D e E ?$

Si può ragionare in questo modo:

La prima carta può essere scelta in 5 modi, la seconda in 4 modi e la terza in 3 modi. Quindi si avranno $5 \times 4 \times 3$ modi per scegliere l’insieme delle 3 lettere tenendo conto dell’ordine.

Tuttavia, ogni insieme di 3 lettere viene in tal modo contato 6 volte (quante sono le permutazioni). Quindi il numero totale di insiemi di 3 lettere che si possono ottenere è:

\frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 10

In generale

Dato che $n (n - 1) \dots (n - r + 1)$ rappresenta il numero di scelte $r$ oggetti tra $n$ , tenendo conto dell’ordine nel quale questi vengono selezionati ,e dato che ogni insieme di $r$ oggetti viene in questo modo contato $r!$ volte, si ha che il numero di sottoinsiemi di $r$ oggetti che si possono formare da un insieme di $n$ oggetti è:

\frac{n ( n - 1 ) \dots ( n - r + 1 )}{r !} = \frac{n !}{( n - r )! \times r !}

Coefficiente binomiale

Definiamo $(k n)$ , per $k \leq n$ , come:

(k n) = \frac{n !}{( n - k )! \times k !}

Diremo che $(k n)$ rappresenta il numero di combinazioni di $r$ oggetti tra $n$ .

Pertanto, $(k n)$ è il numero di sottoinsiemi di $r$ oggetti che si possono formare con un insieme di $r$ oggetti, senza il conto dell’ordine della selezione.

Triangolo di Tartaglia per i coefficienti binomiali

Coefficiente multinomiale

Supponiamo di avere 5 studenti che vogliono organizzare una festa e si dividono i ruoli:

C1: Pulire il locale - 2 persone
C2: Comprare bibite - 2 persone
C3: Pubblicizzare la festa - 1 persona

Si possono scegliere gli studenti per C1, dai rimanenti per C2 e dai rimanenti per C3:

(2 5) \times (2 3) \times (1 1)

Quindi:

\frac{5 !}{( 5 - 2 )! \times 2 !} \times \frac{3 !}{( 3 - 2 )! \times 2 !} \times \frac{1 !}{( 1 - 1 )! \times 1 !} = \frac{5 !}{2 ! \times 2 ! \times 1 !}

E’ la stessa formula utilizzata per gli anagrammi

Infatti, possiamo assegnare a ogni posizione uno studente e a ogni studente un incarico. In questo modo, si dovrà solamente calcolare gli anagrammi della stringa “13221” (va bene qualsiasi altra combinazione).

In generale

Se si hanno $n$ oggetti distinti da ripartire in $r$ scatole $s_{1}, s_{2}, \dots, s_{r}$ in modo che $\forall i$ che va da 1 $r$ nella scatola $s_{i}$ venga inserito l’oggetto $n_{i}$ dove:
$n_{1} + n_{2} + \dots + n_{r} = n$
Quante sono le possibili ripartizioni?
$\frac{n !}{n _{1} ! \times n _{2} ! \times \dots \times n _{r} !} = (n _{1} , n _{2} , \dots , n _{r} n)$
Prende il nome di coefficiente multinomiale

Quindi, riprendendo l’esempio della festa, rappresentando il gruppo che svolge $c_{i}$ si ottiene $n_{1} = 2, n_{2} = 2, n_{3} = 1, R = 3$ .

Dimostro applicando il principio della combinatoria

Scelgo $n_{1}$ oggetti distinti da mettere in $s_{1}$ . In questo modo, ho $(n _{1} n)$ modi.
Scelgo $n_{2}$ oggetti da mettere in $s_{2}$ dai rimanenti. Ottengo $(n _{2} n - n _{1})$ modi.
Per $n_{3}$ e ottengo $(n _{3} n - n _{1} - n _{2})$ modi.

Quindi le ripartizioni totali sono:

Probabilità

Supponiamo di avere un esperimento. Chiameremo spazio campionario ( $S$ ) l’insieme dei possibili esiti dell’esperimento.

Esperimento 1

Lancio un dado $S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$

Esperimento 2

Lancio 2 volte una moneta $S = {(T, T), (T, C), (C, C), (C, C), (C, T)}$

Un evento è descritto matematicamente da un sottoinsieme di $S$ , più precisamente dall’insieme degli esiti che lo realizzano.

L’evento “esce un numero pari” è descritto dal ${2, 4, 6} \subset S$

La famiglia degli eventi = famiglia dei sottoinsiemi di S

Proprietà

Due eventi $E, F \subset S$ si dicono incompatibili se $S \cap F = \emptyset$
L’evento $S$ è detto certo (nell’esempio del dado l’evento “esce un intero” è dato da $S$ )
Dato un evento $E$ , l’evento complementare $E^{c} = S ∖ E$ (per esempio se l’evento è “esce un numero minore o uguale a 2”, l’evento complementare è dato da ${3, 4, 5, 6}$ )
Le leggi di De Morgan $(A \cup B)^{c} = A^{c} \cap B^{c} = A^{c} \cup B^{c}$
L’evento impossibile è descritto da $\emptyset$

Spazio di probabilità

Definizione

Uno spazio di probabilità è descritto dalla coppa $(S, P)$ dove $S$ è lo spazio campionario dell’esperimento e $P$ è chiamata funzione di probabilità, è una funzione definita sulla famiglia degli eventi che soddisfa i seguenti assiomi:

$P (E) \in [0, 1] \forall E$ evento cioè $\forall E \subset S$

$P (S) = 1$

Data una successione $E_{1}, E_{2}, \dots$ di eventi 2 a 2 distinguibili vale:

$P (i = 1 ⋃ \infty E_{i}) = i = 1 \sum \infty P (E_{i})$
Questo quando $\forall i \neq =$ e $E_{i} \cap E_{j} \neq = \emptyset$ ovvero $\forall i \neq = j$ abbiamo $E_{i}$ e $E_{j}$ incompatibili.

Terminologia: dato $E$ evento, $P (E)$ si dice probabilità dell’evento $E$

Proposizione 1

P (\emptyset) = 0

La probabilità dell’evento impossibile è uguale a 0.

Dimostrazione - Utilizzando l’assioma 3

Prendiamo la successione $E 1, E 2, E 3, ...$ dove $E 1 = \emptyset, E 2 = \emptyset, E 3 = \emptyset, ...,$ quindi abbiamo che $\forall i \neq = j$ l’intersezione $E i \cap E j = \emptyset$ .

Per l’assioma 3 $P (⋃_{i = 1}^{\infty} E_{i}) = \sum_{i = 1}^{\infty} P (E_{i})$ , quindi $P (\emptyset) \sum_{i = 1}^{\infty} P (\emptyset)$ , per l’assioma 1 sappiamo che $P (\emptyset) \in [0, 1]$ .

Supponiamo che $P (\emptyset) \in (0, 1]$ allora abbiamo che $\sum_{i_{1}}^{\infty} P (\emptyset) = + \infty$ e quindi $P (\emptyset) \neq = \sum_{i = 1}^{\infty} P (\emptyset)$ , per esclusione quindi $P (\emptyset) = 0$ altrimenti come appena visto otteniamo un valore infinito.

Proposizione 2

Prendiamo un esempio:

Domani piove con una probabilità $0.3$
Domani c’è il sole con una probabilità $0.6$
Domani nevica con una probabilità $0.1$
Qual è la probabilità che piova o che nevichi? $0.3 + 0.1 = 0.4$

P soddisfa l’additività finita: Dati n eventi a 2 a 2 incompatibili $E 1, E 2, ..., E n $ vale $P (⋃_{i = 1}^{n} E_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} P (E_{i})$

Dimostrazione

coming soon

Proposizione 3

\forall E \subset S v a l e P (E^{c}) = 1 - P (E)

Dimostrazione

Coming soon

Proposizione 4 - Monotonia della funzione di probabilità

Dati $E$ e $F$ eventi con $E \subset F$ allora vale $P (E) \leq P (F)$ .

$F = E \cup (F ∖ E)$ , quindi $E$ e $F ∖ E$ sono disgiunti.

Quindi, $P (F) = P (E) + P (F ∖ E)$ dato che per l’assioma 1 $P (F ∖ E) \geq 0 a ll or a P (E) + P (F ∖ E) \geq P (E)$ .

Proposizione 5

$\forall E, F$ eventi, allora $P (E \cup F) = P (E) + P (F) - P (E \cap F)$ , questa formula generale non viene usata nel caso in cui $E, F$ sono distinguibili allora $P (E \cup F) = 0$ .

Spazi campionari con esiti equiprobabili

In molti esperimenti è naturale assumere che tutti gli esiti dello spazio campionario siano equiprobabili. Prima di tutto lo spazio campionario $S$ dovrà essere in insieme finito. Poniamo $S = {1, 2, \dots, N}$ , allora sarà naturale ipotizzare che

P ({1}) = P ({2}) = \dots = P ({n})

Per gli assiomi 1 e 2 possiamo dire che

P ({i}) = \frac{1}{N} i = 1, 2, \dots, N

Per l’assioma 3 avremo perciò che per ogni evento $E$

P (E) = \frac{numero di elementi di E}{numero di elementi di S}

Info

Quindi, se assumiamo che tutti gli esiti di un esperimento siano equiprobabili, allora la probabilità di ogni evento $E$ è uguale alla proposizione degli esiti dello spazio campionario contenuti in $E$ (casi possibili su casi favorevoli)

Esempio

Se si lanciano due dadi, qual è la probabilità che la somma dei valori sulla faccia superiore sia uguale a 7?

Svolgimento Assumiamo che tutti i 36 possibili esiti siano equiprobabili. Poiché ci sono 6 possibili esiti che danno come soluzione 7 $E = {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}$ , la probabilità sarà:

\frac{6}{36} = \frac{1}{6}

Esempio

Ho un’urna con 6 palline bianche e 5 nere a caso senza rimpiazzo. Qual è la probabilità che esca una pallina bianca e 5 nere?

Non conviene registrare il colore delle due palline poiché romperebbe la simmetria. Conviene, invece, numerarle una per una in modo da distinguerle.

$U r na = U = {B_{1}, B_{2}, B_{3}, B_{4}, B_{5}, B_{6}, N_{1}, N_{2}, N_{3}, N_{4}, N_{5}}$ Ci sono 11 palline distinguibili.

S = {A \subset U : ∣ A ∣ = 3}

Un esempio è l’esito:

{B_{2}, B_{4}, N_{3}}

Quindi adesso $S$ ha esiti equiprobabili per simmetria: $P (E) = \frac{∣ E ∣}{∣ S ∣}$ dove $∣ S ∣ = (3 11)$ .

$∣ E ∣ = {A \subset U : ∣ A ∣ = 3, A ha una pallina bianca e 2 nere}$ .

$∣ E ∣ = 6 \times (2 5)$ dove $6$ sono i modi per estrarre una pallina bianca e $(2 5)$ quelli per scegliere due palline senza considerare l’ordine. Quindi:

P (E) = \frac{6 \times ( 2 5 )}{( 3 11 )} = \frac{4}{11}

Principio di inclusione/esclusione

Con 2 eventi

P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)

Con 3 eventi

P (A \cup B \cup C) = P (A) + P (B) + P (C) - P (A \cap B) - P (A \cap C) -

- P (B \cap C) + P (A \cap B \cap C)

Probabilità condizionata

Dati $E$ e $F$ con $P (F) > 0$ , la probabilità di $E$ condizionata $F$ è definita come

P(E|F)=\frac{P(E \space \cap \space F )}{P(F)}

Si svolge l’esperimento e so che “si verifica $F$ ”, questa informazione muta la speranza che si verifichi $E$ e la nuova probabilità di $E$ sapendo che si è verificato $F$ è data da $P (E ∣ F)$ .

Esempio

Si lancia un dado.

$E = Esce 1 o 2, P (E) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Supponiamo di sapere che si è verificato l’evento $F$ ( $F = Uscito un numero \leq 4$ ), se so che $F$ si realizza allora so che è uscito o 1 o 2 o 3 o 4. Quindi ho 4 esiti possibili e c’è simmentria.

In questo modo se si verifica $F$ allora $P (E) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ , ci aspettiamo che $P (E ∣ F) = \frac{1}{2}$ .

Calcolo usando la definizione:

P (E ∣ F) = \frac{P ( E \cap F )}{P ( F )} = \frac{\frac{2}{6}}{\frac{4}{6}} = \frac{1}{2}

S = {1, 2, \dots, 6}

F = {1, 2, 3, 4}

…

Variabili aleatorie

Variabili reali

Dato uno spazio di probabilità ( $S, P$ ), una variabile aleatoria è una funzione $X : S \to R$ quindi una funzione che mappa elementi dello spazio campionario in numeri reali.

Esempio 1

Lancio una moneta due volte e abbiamo $X := #volte in cui esce testa, X$ è una variabile aleatoria.

Abbiamo $S = {(T, T), (C, C), (T, C), (C, T)}$ e sono tutti esiti equiparabili.

Quindi: $X ((T, T)) = 2, X ((T, C)) = 1,, X ((C, T)) = 1,, X ((C, C)) = 0$

Esempio 2

Lancio due volte un dado e abbiamo $X := #somma dei numeri usciti$ . Otterremo:

S = {(a, b) : a, b \in {1, 2, 3, 4, 5, 6}}

Quindi abbiamo esiti equiprobabili.

X ((a, b)) = a + b

Quindi per esempio

X ((1, 5)) = 6

Variabili discrete

Una variabile aleatoria $X$ è detta discreta se i valori che può assumere ${X_{i}}_{i \in I}$ , formano un insieme finito o infinito numerabile. Quindi, per esempio, la variabile aleatoria degli esempio descritti precedentemente è discreta.

Densità di probabilità aleatoria discreta

Data $X$ variabile aleatoria che assume ${X_{i}}_{i \in I}$ , la densità di probabilità discreta di $X$ è la funzione:

P_{X} : {X_{i}}_{i \in I} \to [0, 1], P_{X} := (X = X_{i})

E’ quindi una funzione che descrive la probabilità associata a ciascun valore possibile di una variabile aleatoria discreta.

Esempio

Lancio due volte una moneta e v.a. $X := #Teste uscite$ quindi $X (T, T) = 2, X (T, C) = 1, X (C, C) = 0$ .

Quindi $X$ è una variabile aleatoria che assume i valori $0, 1, 2$ .

P_{X} : {0, 1, 2} \to [0, 1] e P_{X} (a) = P (X = a)

Quindi calcoliamo:

P_{X} (0) = P (X = 0) = \frac{1}{4}

E’ il caso in cui escano due croci $(C, C)$ e ha probabilità $\frac{1}{4}$

Poi:

P_{X} (1) = P (X = 1) = \frac{2}{4}

E’ il caso in cui almeno una dei due sia testa $(T, C) o pp u re (C, T)$ e ha probabilità $\frac{2}{4}$

Infine calcolo:

P_{X} (2) = P (X = 2) = \frac{1}{4}

E’ il caso in cui entrambi sono testa $(T, T)$ e ha probabilità $\frac{1}{4}$ .

Possiamo rappresentare la densità discreta con un istogramma.

Valore atteso

Data una variabile aleatoria discreta $X$ che assume valore ${X_{i}}_{i \in I}$ , definiamo il valore atteso di $X$ come:

E [X] = i \in I \sum X_{i} P (X = X_{i}) = i \in I \sum X_{i} P_{X} (X_{i})

Dove $E$ indica il valore atteso di X.

Esempio

Lanciamo una moneta 2 volte e come variabile aleatoria si ha $X = #Teste uscite$ .

E [X] = 0 \cdot \frac{1}{4} + 1 \cdot \frac{2}{4} + 2 \cdot \frac{1}{4} = 1

Esempio

Data un’urna con 3N e 2B. Estraggo due palline senza rimpiazzo, sia $X := #Palline nere estratte$ . Calcolare $E [X]$ .

Abbiamo $X = {0, 1, 2}$

$P (X = 0) = \frac{2 \cdot 1}{5 \cdot 4} = \frac{2}{20}$
$P (X = 1) = \frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 4} + \frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 4} = \frac{2}{20} = \frac{12}{20}$
$P (X = 2) = \frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 4} = \frac{6}{20}$

E [X] = 0 \cdot \frac{2}{20} + 1 \cdot \frac{12}{20} + 2 \cdot \frac{6}{20} = \frac{6}{5}

Funzione di distribuzione (o ripartizione)

Data una variabile aleatoria $X$ , la sua funzione di distribuzione è definita come:

F_{X} : R \to [0, 1] co n F_{X} (a) = P (X \leq a) \forall a \in R

Esempio

Sia $X$ la stessa variabile aleatoria di prima (esempio urna) determiniamo $F_{X}$ .

Se $a < 0$ allora $F_{X} (a) = P (X \leq a) = 0$
Se $0 \leq a$ allora $F_{X} (a) = P (X \leq a) = \frac{1}{10}$
Se $1 \leq a < 2$ allora $F_{X} (a) = P (X \leq a) = F_{X} ({X = 1 \cup {X = 0}}) = \frac{1}{10} + \frac{6}{10} = \frac{7}{10}$
Se $a \geq 2$ allora $F_{X} (a) = P (X \leq a) = F_{X} ({X = 0} \cup {X = 1} \cup {X =}) = \frac{1}{10} + \frac{6}{10} + \frac{3}{10} = 1$

Quindi guardando meglio la funzione abbiamo che:

F_{X} (a) = ⎩ ⎨ ⎧ 0 se a \leq 0 \frac{1}{10} se 0 \leq a \leq 1 \frac{7}{10} se 1 \leq a \leq 2 1 se a \geq 2

In generale se $X$ è una variabile aleatoria che assume $n$ valori dati da $X_{1} \leq X_{2} \leq \dots X_{n}$ allora si ha che:

F_{X} (a) = ⎩ ⎨ ⎧ 0 se a \leq 0 P (X_{1}) se X_{1} \leq a < X_{2} P (X_{1}) + P (X_{2}) se X_{2} \leq a < X_{3} . P (X_{1}) + P (X_{2}) + \dots + P (X_{k}) se X_{k} \leq a < X_{k + 1} . 1 = P (X_{1}) + \dots + P (X_{n}) se a \geq X_{n}

Varianza di una variabile aleatoria

Sia $X$ una variabile aleatoria discreta, la varianza di $X$ è definita come $Va r (X) := E [(X - EX)^{2}]$ . Dove $EX$ è il valore atteso.

La varianza è utile perché indica la dispersione della variabile aleatoria $X$ dal suo valore atteso (il risultato è in unità al quadrato).

Info

Con il termine dispersione si indica quanto i dati si allontanano dal valore centrale (valore atteso) e tra di loro.

Esempio

Sia $X$ una variabile aleatoria con $X (1) = \frac{1}{2}$ e $X (- 1) = \frac{1}{2}$ , abbiamo che:

E [X] = EX = 1 \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} = 0

Quindi:

Va r (X) = E [(X - EX)^{2}] = E [(X - 0)^{2}] = E [X^{2}] = 1

Deviazione quadratica

Sia $X$ una variabile aleatoria, la deviazione quadratica standard in $X$ è data da $σ_{X} := Va r (X)$ .

In altre parole, è una misura che indica quanto i dati sono “sparpagliati” rispetto al valore atteso.

Qual è la differenza tra deviazione quadratica e varianza?

Entrambe calcolano la stessa cosa. L’unico elemento che le distingue è l’unità di misura. Infatti, la varianza non è altro che la deviazione quadratica elevata al quadrato.

Esempio

Supponiamo di avere i seguenti voti di un gruppo di studenti in un test $X = {6, 7, 8, 9, 10}$ .

Calcoliamo ill valore atteso:

E [X] = \frac{6 + 7 + 8 + 9 + 10}{5} = 8

Ora calcoliamo la varianza:

Calcolo la distanza di ogni voto dalla media:
- $6$ è a distanza $2$ dalla media $(8 - 6 = 2)$
- $7$ è a distanza $1$ dalla media $(8 - 7 = 1)$
- $8$ è a distanza $0$ dalla media $(8 - 8 = 0)$
- $9$ è a distanza $1$ dalla media $(9 - 8 = 1)$
- $10$ è a distanza $2$ dalla media $(10 - 8 = 2)$
Eleviamo al quadro:

2^{2} = 4, 1^{2} = 1, 0^{2} = 0, 1^{2} = 1, 2^{2} = 4

Calcoliamo la media dei valori elevati al quadrato:

Va r (X) = \frac{4 + 1 + 0 + 1 + 4}{5} = 2

Ora calcoliamo la derivazione standard svolgendo la radice quadrata della varianza:

σ_{X} = 2 \approx 1, 41

Funzione aleatoria

Dati $(S, P)$ e $X : S \to R$ , denoto con $f (X)$ la variabile aleatoria $f$ o $X$ , avremo quindi che:

f o X = f (X) S \to X R \to f R

$f (X) : S \to R$ è una variabile aleatoria

Infatti:

$X : S \to R$ assume valori ${X_{i} : i \in I}$
$f (X) = f o X : S \to R$ assume valori ${f (X_{i}) : i \in I}$

Esempio

Lancio 10 volte una moneta $X = #Teste uscite$ . Si vince $€2$ per ogni testa e si perde €1 per ogni croce.

$Y = #Guadagno algebrico$

Posso esprimere $Y$ come $f (X)$ .

Y = 2 \cdot X - 1 \cdot (10 - X) = 3 X - 10 Y = f (X) dove f : R \to R

Ho $(S, P) e X : S \to R variabile aleatoria$

Ho $f : R \to R$ , se $X$ è una variabile aleatoria discreta, allora $f o X = f (X)$ è variabile discreta aleatoria.

Calcolo $E [f (X)]$

Primo metodo

Determino i possibili valori di $f (X)$ che chiamo ${y_{j} : j \in J}$ e calcolo $P (f (X) = y_{j}) \forall j \in J$ . Quindi per definizione:

j \sum y_{j} \cdot P (f (X)) = y_{j}

Secondo metodo

Teorema

Sia $X$ una variabile aleatoria discreta che assume valori ${X_{i}}_{i \in I}$ e sia $f : R \to R$ . Allora:

E [f (X)] = i \in I \sum f (X_{i}) \cdot P (X = X_{i}) = i \in I \sum f (X_{i}) \cdot P_{X} (X_{i})

Esempio

Data $X$ che assume valori $- 1, 0, 3$ con probabilità $0.2, 0.5, 0.3$ rispettivamente. Calcolare $E ((X - 1)^{2})$ .

Primo metodo

Y = (X - 1)^{2} assume valori {4 se X = - 1 o X = 3 1 se X = 0

$P (Y = 4) = P (X = - 1) + P (X = 3) = 0.2 + 0.3 = 0.5$
$P (Y = 1) = P (X = 0) = 0.5$
$E [Y] = 4 \cdot 0.5 + 1 \cdot 0.5 = 2.5$

Secondo metodo

E [Y] = f (- 1) \cdot P (X = - 1) + f (0) + f (3) \cdot P (X = 3) = (- 1 - 1)^{2} \cdot 0.2 + (0 - 1)^{2} + (3 - 1)^{2} \cdot 0.3 = 0.8 + 0.5 + 1.2 = 2.5

Valore atteso con funzione

Se $X$ è variabile discreta che assume i valori ${x_{i}}_{i \in I}$ e $f : R \to R$ allora:

E [f (X)] = i \in I \sum f (x_{i}) \cdot P (X = x_{i})

$La chiamiamo *$

Esempio

$X$ assume valori ${- 1, 0, 2, 3}$ e abbiamo che:

$P (- 1) = 0.1$
$P (0) = 0.2$
$P (2) = 0.2$
$P (3) = 0.5$

Allora:

E [(X - 1)^{4}] = E [f (X)] d o v e f (u) = (u - 1)^{4}

Calcoliamo:

E [(X - 1)^{4}] = E [f (X)] = f (- 1) \cdot P (- 1) + f (0) \cdot P (0) = + f (2) \cdot P (2) + f (3) \cdot P (3) = (- 1 - 1)^{4} \cdot 0.1 + (- 1)^{4} \cdot 0.2 + (2 - 1)^{4} \cdot 0.2 + (3 - 1)^{4} + (3 - 1)^{4} \cdot 0.5 = 2

Linearità del valore atteso

Sia $X$ una variabile aleatoria discreta e siano $a, b \in R$ allora $E [a X + b] = a E [X] + b$

Dimostrazione

Sia ${x_{i}}_{i \in I}$ l’insieme dei valori assunti da $X$ , inoltre abbiamo $a X + b = f (X)$ dove $f (u) = a u + b$ . La scriviamo quindi come funzione di $X$ .

E [a X + b] = E [f (X)] = i \in I \sum f (x_{i}) P (X = x_{i}) = i \in I \sum (a x_{i} + b) P (X = x_{i})

Propriet \overset{a}{ˋ} distributiva = i \sum a x_{i} P (X_{i}) + b P (X_{i})

Portiamo fuori a,b e spezziamo = a E [X] i \sum P (x_{i}) + b 1 \sum P (x_{i}) = a E [X] + b

Esempio

$E [X] = 1000$ come calcoliamo $E [3 X - 500]$ ?

Applichiamo la formula:

E [3 X - 500] = 3 E [X] - 500 = 3000 - 500 = 2500

Proposizione

Ricordiamo che la varianza si calcola $Va r (X) := E [(X - EX)^{2}]$ , possiamo anche calcolarla come:

Va r (X) = E [X^{2}] - (EX)^{2}

Reminder

La deviazione quadratica standard è:
$Va r (x)$

Osserviamo che $Va r (X)$ deve essere sempre $\geq 0$ infatti $Va r (X) = E [(X - EX)^{2}]$ è $\geq 0$ , dato che è elevato al quadrato.

Va r (X) = 0 ⟺ P (X = EX) = 1

Se la varianza è uguale a 0 allora significa che la variabile è costante, infatti $Va r (X)$ misura quanto $X$ si sposta dal suo valore atteso $E [X]$ .

Osservazione

Né la varianza né la deviazione quadratica sono lineari

Proprietà

Data $X$ variabile discreta e dati $a, b \in R$ vale:

Va r (a X + b) = a^{2} Va r (X)

E quindi si può notare che amplifica le costanti moltiplicative e annulla quelle additive.

Variabile di Bernoulli

Una variabile aleatoria è detta di Bernoulli se di parametro $p \in [0, 1]$ se $P (X = 1) = p$ e $P (X = 0) = 1 - p$ , quindi questa può assumere soltanto due valori.

Quindi in questo caso notiamo che:

E [X] = 1 \cdot P (X = 1) + 0 \cdot P (X = 0) = 1 \cdot p + 0 \cdot (1 - p) = p

Mentre

Va r (X) = E [X^{2}] - (EX)^{2} = p - p^{2} = p \cdot (1 - p)

Dove $E [X^{2}] = 1^{2} \cdot P (X = 1) + 0^{2} \cdot P (X = 0) = p$

Variabile aleatoria binomiale

Dato un esperimento con $n$ prove indipendenti, tutte svolte nello stesso modo. Supponiamo che ogni prova abbia due possibili esiti: successo e insuccesso.

Esempio 1

Lancio una moneta 10 volte, i 10 lanci solo le prove e come successo stabilisco che deve uscire testa.

Esempio 2

Lancio un 8 volte, gli 8 lanci sono le prove e come successo stabilisco quando esce un numero multiplo di 3.

Definiamo $X = #Successi ottenuti$ nelle prove, notiamo quindi che può assumere come valore, tutti i valori interi da 0 a n, ma con che probabilità?

Chiamiamo p la probabilità che una singola prova ci dia successo come esito.

Proposizione

\forall k = 0.1, 2, \dots, n v a l e P (X = k) = (k n) \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k}

Prendiamo l’esempio 2, quindi abbiamo $n = 8$ , $p = \frac{1}{3}$ e calcoliamo la probabilità di due successi:

P (X = 2) = (2 8) \cdot (\frac{1}{2})^{2} \cdot (\frac{2}{3})^{6}

Perché vale questa proposizione?

Supponiamo di avere 4 prove e ci chiediamo $P (X = 2)$ , questo evento ${X = 2}$ possiamo vederlo come unione di varie prove:

E_{SS II} \cup E_{S I S I} \cup E_{I SS I} \cup E_{II SS} \cup E_{I S I S}

Dove i pedici sono successi e insuccessi.

Abbiamo $(2 4)$ eventi, in generale $(k n)$ .

Adesso se calcoliamo la probabilità di tutti questi eventi:

P (X = 2) = P (E_{SS II}) + \dots + P (E_{I S I S}) = p \cdot p \cdot (1 - p) \cdot (1 - p)) + \dots + ((1 - p) \cdot p \cdot p \cdot (1 - p))

Hanno tutti la stessa probabilità che è data da $p^{2} \cdot (1 - p)^{2}$ quindi è uguale a:

(2 4) \cdot p^{2} \cdot (1 - p)^{2}

Ovviamente abbiamo $p = 2$ e quindi $n - k = 2$ ma dipende da quanti esiti con successo abbiamo. Quindi vale la proposizione.

Definizione

Una variabile aleatoria binomiale di parametri $n \in {1, 2, 3, \dots}$ e $p \in [0, 1]$ è una variabile aleatoria che assume valori $0, 1, 2, \dots, n$ con la stessa probabilità:

P (X = k) = (k n) \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{k} \forall k \in {0, 1, 2, \dots, n}

Teorema

Indichiamo con $X = B in (n, p)$ una variabile binomiale di parametri $n, p$ .

Sia $X = B in (n, p)$ allora:

E [X] = n \cdot p e Va r (X) = n \cdot p \cdot (1 - p)

Se $n = 1$ e $X = B in (n, p)$ ho che $X$ assume i valori $0, 1$ e:

P (X = 1) = (1 n) \cdot p^{1} \cdot (1 - p)^{n - 1} = (1 1) \cdot p^{1} \cdot (1 - p)^{0} = p

Mentre

P (X = 0) = 1 - p

Quindi si può notare che $B in (1, 0) = B er n o u ll i (p)$ , cioè una variabile aleatoria di Bernoulli di parametro $p$ .

Esempio

Lancio 5 volte una moneta onesta. Sia $X = #Teste uscite$ determinare la probabilità discreta $X, EX, Va r (X), σ (X_{0})$

$X = B in (\frac{5}{1})$ ovvero 5 prove e il successo è che esce testa.

Calcoliamo $P_{X}$ , sappiamo che $X$ assume $0, 1, 2, 3, 4, 5$ ovvero le possibili teste quindi per questi valori $k$ calcoliamo:

Poi abbiamo che:

Perché le costanti additive non importano nella varianza?

Prendiamo come esempio due grafici di due probabilità:

Notiamo che se trasliamo la probabilità di una costante, i grafici rimangono uguali ma vengono traslati, la varianza quindi rimane la stessa, dato che misura la dispersione dal valore atteso.

Quindi $Va r (X) e Va r (X + b)$ coincidono.

Variabile aleatoria di Poisson (distribuzione degli eventi rari)

Una variabile aleatoria $X$ è detta di Poisson di parametro $λ > 0$ se assume valori $0, 1, 2, \dots$ (valori interi) e:

P_{X} (k) = P (X = k) = e^{- λ} \cdot \frac{λ ^{k}}{k !} \forall k = 0, 1, 2, \dots

Per verificare l’esistenza della variabile aleatoria di Poisson di parametro $k$ devo verificare:

⎩ ⎨ ⎧ P_{X} (k) \geq 0 \forall k = 0, 1, 2, \dots k = 0 \sum \infty P_{X} (k) = 1

Infatti:

k = 0 \sum \infty P_{X} (k) = k = 0 \sum \infty e^{- λ} \cdot \frac{λ ^{k}}{k !} = e^{- λ} \cdot S er i e E s p o n e n z ia l e k = 0 \sum \infty \frac{λ ^{k}}{k !} U = e^{- λ} \cdot e^{λ} = 1

La variabile aleatoria di Poisson è un’approssimazione della variabile aleatoria binomiale $B in (n, p)$ quando $n$ è molto grande e $p$ molto piccola.

Teorema: legge dei piccoli numeri

Dato $n \in {1, 2, \dots}$ sia $P_{n} \in [0, 1]$ tale che:

\exists n \to \infty lim P (X_{n} = k) = P (Z = k) \forall k \in {0, 1, 2, \dots}

Quindi per $n$ grande possiamo approssimare $P (X_{n} = k) \approx P (Z = K)$ , quindi in alcune situazioni abbiamo che:

B in (n, p) \approx P o i sso n (λ)

Dove presi $n, p, λ$ abbiamo che:

n ≫ 1 (m o lt o g r an d e)

n p \approx λ quindi anche p \approx \frac{λ}{n}

Cosa intendiamo per $B in (n, p) \approx P o i sso n (λ)?$

Intendiamo che:

P (X = k) \approx P (Z = k) \forall k = 0, 1, 2, \dots

Dove $X = B in (n, p)$ e $Z = P o i sso n (λ)$

Esempio di grandezza ben modellizzata da una variabile aleatoria di Poisson

Supponiamo di avere la pagina di un libro e consideriamo la probabilità che un carattere venga stampato in modo errato. Si ha una variabile aleatoria binomiale infatti un numero di prove n e due esiti, successo se stampato male e insuccesso altrimenti.

Notiamo che n è il numero di caratteri ed è molto alto all’interno di una pagina, e p possiamo assumerla piccola.

Possiamo quindi assumere $B in (n, p) \approx P o i sso n (λ)$ dove $λ = n \cdot p$ .

Esempio più concreto

Supponiamo che il numero di errori tipografici per pagina sia approssimato da $P o i ss (\frac{2}{1})$ :

Qual è la probabilità che ci sia almeno un errore a pagina 20?

Consideriamo quindi $z := #Errori a pagina 20$ e quindi abbiamo che:

z = P o i ss (λ) λ = \frac{1}{2}

P (z = k) = e^{- \frac{1}{2}} \cdot (\frac{1}{2})^{k} \cdot \frac{1}{k !}

Possiamo considerare il fatto che ci sia almeno un errore come l’evento complementare di non ci sono errori, quindi possiamo calcolare:

P (z \geq 1) = 1 - P (z = 0) = 1 - e^{- \frac{1}{2}} ​ \cdot (\frac{1}{2})^{0} \cdot \frac{1}{0 !} = 1 - e^{- \frac{1}{2}} \approx 0.393

Qual è la probabilità che ci siano esattamente 4 errori?

P (z = 4) = 1 - e^{- \frac{1}{2}} ​ \cdot (\frac{1}{2})^{4} \cdot \frac{1}{4 !} = 1 - e^{- \frac{1}{2}} \approx 0.00158

Osservazione

La Poisson approssima una binomiale $P o i ss (λ) \approx B in (n, nλ )$ per un n abbastanza grande.

Teorema: valore atteso e varianza di Poisson

Se $X = P o i ss (λ)$ allora $E [X] = λ$ e anche $Va r (X) = λ$

Variabile aleatoria geometrica

Immaginiamo di ripetere in maniera indipendente una prova (lancio un dado $\infty$ volte). Ogni prova ha successo con probabilità $p$ e insuccesso con $1 - p$ .

Sia $X$ il numero di prove necessarie per ottenere il primo successo.

Quindi:

P (X = k) = Prova 1, ins (1 - p) \cdot Prova 2 ins. (1 - p) \to Ultima prova, successo

Quindi abbiamo:

P (X = k) = (1 - p)^{k - 1} \cdot p \forall k = 1, 2, \dots

Teoricamente si potrebbe sempre ottenere un insuccesso e quindi avere che $X = + \infty$ e quindi si avrebbe che:

P (X = + \infty) = (1 - p)^{\infty} = 0 con 0 < p < 1

Questo significa che l’evento è possibile ma ha una probabilità nulla. Questa situazione strana è data dal fatto che l’insieme degli esiti è un insieme non numerabile.

Oppure possiamo dimostrare che questo risultato è 0 svolgendo:

P (X = \infty) = 1 - P (Z < \infty) = 1 - 1 = 0

Dove

P (X < \infty) = k = 0 \sum \infty P (X = k) = k = 0 \sum \infty (1 - p)^{k} \cdot p = p Serie Geometrica k = 0 \sum \infty (1 - p)^{k} = p \cdot \frac{1}{1 - ( 1 - p )} = 1

Infine, possiamo dire che in una variabile aleatoria geometrica:

EX = \frac{1}{p} Va r (X = \frac{1 - p}{p ^{2}})

Esercizio

Si lancia un dado finché non esce 6. a) Calcolare il valore atteso del numero di lanci effettuati b) Calcolare la probabilità di aver effettuato almeno 7 lanci

P (Esce 6) = \frac{1}{6} = p X = Lanci effettuati fino al primo 6 = G eo m (\frac{1}{6}) E [X] = \frac{1}{\frac{1}{6}} = \frac{1}{\frac{1}{6}} = 6

b) Abbiamo $p = \frac{1}{6}$ come prima e anche la variabile aleatoria $X$ . Adesso però dobbiamo calcolare $P (X = 7)$

P (X = 7) = p^{k - 1} = (\frac{5}{6})^{6}

Variabile aleatoria binomiale negativa

Dipende da due parametri, $p \in (0, 1)$ che è la probabilità di successo in una prova e $r \in {1, 2, 3, \dots}$ intero che indica il numero di successi che voglio ottenere.

Esempio chiave

Considero una successione di prove indipendenti di tipo successo/insuccesso.

X := # Prove effettuate fino ad avere r successi per la prima volta

Allora $X = B in_N e g (p, r), X$ assume valori $r, r + 1, r + 2, \dots$ quando dato $k \in {r, r + 1, r + 2, \dots}$ come calcoliamo $P (X = k)$ ?

Sappiamo che sicuramente la $k$ -esima prova deve avere come esito successo, mentre nella $k - 1$ prove dobbiamo avere sicuramente $r - 1$ successi.

Non tenendo conto dell’ordine, possiamo dire che:

P (X = K) = P (Ho r - 1 successi nelle prime k - 1 prove) \cdot p

A questo punto, possiamo utilizzare la binomiale per calcolare la probabilità degli $r - 1$ successi:

(r - 1 k - 1) \cdot p^{r - 1} \cdot (1 - p)^{(k - 1) - (r - 1)} = (r - 1 k - 1) \cdot p^{r} \cdot (1 - p)^{k - r}

Variabile aleatoria ipergeometrica

Prototipo

Abbiamo un’urna con $N$ palline di cui $m$ bianche e $N - m$ nere, estraggo senza rimpiazzo $n$ palline con $n \leq N$ .

Definiamo $X := #Numero palline bianche estratte$

$X$ è detta variabile aleatoria di parametri $N, m, n$ .

Come si calcola $P (X = k)$ ? Numeriamo tutte le palline per distinguerle, nello spazio campionario abbiamo: $(m N)$ modi per scegliere $n$ palline. Usiamo il principio fondamentale della combinatoria:

P (X = k) = \frac{( k n ) \cdot ( n - k N - m )}{( n N )}

Quindi al numeratore abbiamo i modi per scegliere le bianche per i modi per scegliere le nere.

Per quali $k$ abbiamo che $P (X = k) > 0$ ?

P (X = k) ⟺ (k m) > 0 ⟺ 0 \leq n - k \leq N - m

Ricordiamo che per i binomiali $(a b)$ deve valere $0 \leq a \leq b$ altrimenti è $0$ .

Quindi abbiamo:

{0 \leq k \leq m 0 \leq n - k \leq N - m

Ovvero 4 disuguaglianze:

⎩ ⎨ ⎧ 0 \leq k k \leq m k \leq n n + m - N \leq k

Scritto in un’unica disuguaglianza:

ma x (0, n + m - N) \leq k \leq min (m, n)

Definizione

Una variabile aleatoria ipergeometrica di parametri $N, m, n$ è una variabile aleatoria discreta con densità di probabilità come il prototipo visto per l’esercizio sopra, cioè:
$P (X = k) = \frac{( k n ) \cdot ( n - k N - m )}{( n N )}$

Inoltre abbiamo che:

E [X] = \frac{n \cdot m}{N} Va r (X) = n p (1 - p) (1 - \frac{n - 1}{N - 1}) dove p = \frac{m}{n}

👾 Ineffable Notes

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Calcolo delle probabilità

Combinatoria

Principio Fondamentale

Esempio lancio di un dado

Esempio studenti

Principio fondamentale generalizzato

Esempio ragazzi e ragazze

Permutazioni

Esempio libri

Definizione permutazioni

Dimostrazione

Permutazioni con e senza ripetizioni

Esempio targhe alfanumeriche

Combinazioni

Coefficiente binomiale

Coefficiente multinomiale

Probabilità

Esperimento 1

Esperimento 2

Proprietà

Spazio di probabilità

Proposizione 1

Proposizione 2

Proposizione 3

Proposizione 4 - Monotonia della funzione di probabilità

Proposizione 5

Spazi campionari con esiti equiprobabili

Esempio

Esempio

Principio di inclusione/esclusione

Probabilità condizionata

Esempio

…

Variabili aleatorie

Variabili reali

Esempio 1

Esempio 2

Variabili discrete

Densità di probabilità aleatoria discreta

Esempio

Valore atteso

Esempio

Esempio

Funzione di distribuzione (o ripartizione)

Esempio

Varianza di una variabile aleatoria

Esempio

Deviazione quadratica

Esempio

Funzione aleatoria

Esempio

Esempio

Valore atteso con funzione

Esempio

Esempio

Variabile di Bernoulli

Variabile aleatoria binomiale

Esempio

Variabile aleatoria di Poisson (distribuzione degli eventi rari)

Variabile aleatoria geometrica

Esercizio

Variabile aleatoria binomiale negativa

Esempio chiave

Variabile aleatoria ipergeometrica

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